借我一双慧眼
——例析2011年与2012年江苏高考的解析几何试题
星空平台 顾旭东 邮编226100
圆锥曲线的内容在近年江苏考纲要求中的地位比较特殊，虽说仅仅是B级要求，但由于它在高考的六大题中稳居一个席位且区分度较大，故也被笔者戏称为是准C级要求的考查对象，而在今年的高考中解析几何试题已悄然移至倒数第二题的位置，作为压轴题的一部分，对此学生感到很不适应。究其原因，让我们一起来探循命题者的意图，从而揭开2011和2012两年解析几何试题的“庐山真面目”。
命题背景：圆锥曲线中的定点、定值问题是近年高考的重要组成部分，而对考生的运算能力的考查也体现了“三基”的要求，同时通过以下两题的设置能够给后续的教学起到一定的导向引领的作用。
题目：（2011江苏卷18题）如图，在平面直角坐标系
中，
分别是椭圆
的顶点，过坐标原
点的直线交椭圆于
两点，其中
在第一象限，过作
轴的垂线，垂足为
，连接
，并延长交椭圆于点
，设直线
的斜率为
。
（1）当直线平分线
段
，求的值；
（2）当
时，求点到直线
的距离
；[来源:Zxxk.Com]
（3）对任意
，求证：
。
解：（1）、（2）小问略， 
（3）证明：取
中点为
，连
，
中，
为中点，
∥，即∥，
，
又
轴，
在
中，
，
即
，
，
另取中点
，连
，易知在
中，∥
，
不妨设
，
，
，
，
，
而
，
，
，
点评：题目虽然已经解完，但带给我们的思考很多，命题者的真正意图是什么呢？他又想传递什么样的信息呢？让我们先来看一下本题的源头在哪里，以下这个结论在高三的复习中经常出现。
结论1：已知为椭圆
上关于原点对称的两点，则对于椭圆上异于的任一点，恒有
。
当利用上述结论时很快发现：
，
。
当然我们还可以进一步通过研究得到以下结论2。
结论2：在平面直角坐标系中，过坐标原
点的直线交双曲线
于两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连接，并延长交双曲线于点，则 
。
再来欣赏今年的压轴题之一。
题目：（2012江苏卷19题）如图，在平面直角坐标系
中，椭圆
的左右焦点分别为
已知点
和
都在椭圆上，其中
为椭圆的离心率。
（1）求椭圆的方程；
（2）设
是椭圆上位于轴上方的两点，且直线
与直线
平行，
与
交于点。
①若
求直线的斜率；
②求证：
是定值。
解：（1）略解得椭圆方程为
（2）①由（1）知
又直线
所以可设直线
的方程为
直线
的方程为
设
由
得
解得
故
同理，
即
解得
所以直线的斜率为
②因为直线所以由三角形相似得
于是
故
由点在椭圆上知
从而
同理
因此，
又由
可知
所以
所以原式得证。
点评：该题运算量较大，很难有学生在规定的时间内找到准确的方法算到最后的结果，那么命题者的真正意图是什么呢？我们来看一下本题的源头所在。
结论3.已知椭圆
过焦点
且与椭圆分别交于两点，则
为定值。
证明：（1）若
的斜率不存在，则
，
（2）若的斜率存在，不妨设为，且令
所以由椭圆的第二定义可知：
又
综上
（定值）
回过头来再来看今年的高考试题，那么一切都变得简单了。
过作
交轴于
∽
，
，
∽
，
，
由以上两式
，以下只需证明
为定值即可。
又
（其中
为直线与椭圆的另一交点）
（定值）， 所以原式淂证。
同样通过研究我们还能进一步发现以下结论。
结论4. 已知双曲线
过焦点且与双曲线（同一支）分别交于两点，则
（定值）。（证明方法与椭圆一致）
结论5. 已知抛物线
，过焦点且与抛物线分别交于两点，则
（定值）。（证明略）
结论6.在圆锥曲线中，过焦点且与圆锥曲线（若为双曲线，则在同一支上）分别交于两点的直线必满足为定值。
通过对这两条高考题的辨析，我有几点反思与大家共勉。反思（1）我们在平时的讲解中有没有真正给学生予思考的时间与空间，是否只顾埋头走路，不顾抬头看天，要清醒的认识到“教师讲完了”不一定就是“学生理解了”；反思（2）有没有真正将题型归纳到底，将问题变化到底，将方法演绎到底；反思（3）有没有不断的学习他人的先进经验，通过整合知识来超越自我；反思（4）有没有将考纲与实际的高考内容联系起来，揣摩江苏命题的方向，以期真正起到事半功倍的效果。题目是无限的，而方法是有限的，面对2013，你开始准备了吗？